Group Homomorphism

定义 Definition

群同态：在两个群之间保持群运算结构的映射。若 \(f: G \to H\) 满足对任意 \(a,b \in G\)，都有
\[ f(ab)=f(a)f(b), \] 则称 \(f\) 为从 \(G\) 到 \(H\) 的群同态。（常见相关概念还有核 kernel 与像 image。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɡruːp ˌhɒməˈmɔːrfɪzəm/（英式）
/ɡruːp ˌhoʊməˈmɔːrfɪzəm/（美式）

例句 Examples

A group homomorphism preserves the operation.
群同态会保持群的运算结构。

If \(f: G \to H\) is a group homomorphism, then the kernel of \(f\) is a normal subgroup of \(G\).
如果 \(f: G \to H\) 是群同态，那么 \(f\) 的核是 \(G\) 的一个正规子群。

词源 Etymology

homomorphism 来自希腊语词根：**homo-**（相同的）+ morphē（形状、形式）+ -ism（名词后缀），字面含义接近“保持相同形式的映射”。在代数学中，它表示“保持结构（运算规则）”的映射；加上 group 就明确为“群结构”的同态。

相关词 Related Words

• Homomorphism
• Isomorphism
• Endomorphism
• Automorphism
• Kernel
• Image
• Normal Subgroup
• Group

文学与经典教材中的用例 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在群、环、域的结构映射章节中频繁出现 “group homomorphism”。
• Algebra（Serge Lang）——用于刻画群及其商群、同构定理等内容。
• A First Course in Abstract Algebra（Fraleigh）——以入门方式介绍群同态、核与像。
• Contemporary Abstract Algebra（Joseph A. Gallian）——在同态与同构定理部分大量使用该术语。
• Algebra（Michael Artin）——在抽象代数的结构与映射叙述中出现该概念与用法。